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          无穷小量究竟是否为零?

          来源:黄se网 时间:05-14 21:19:38浏览1215次

          1. 无限小。这个概念无疑常常困扰没有受过现代数学训练的浏览者们,这是很自然的事情,因为它可以从直觉上意识得到,却又难于准确地把握:无限小是什么?是不是可以准确定义的数学概念?它是一个数?还是一段长度?能不能对无限小做盘算?诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨接洽在一起,使得甚至哲学家们也对它颇为关注,——当然,还有数之不尽的民科们。关于无限小的讨论者,最有名的大概莫过于莱布尼茨,他花了大把的精神试图准确论述无限小的概念并且以此作为全部微积分学的基石。在莱布尼茨看来,无限小是一个比任何数都小但是不等于零的量,对它可以做四则运算,尤为要害的是可以做除法:两个相干的无限小量的比值就是一个函数的导数。以此为基础语言他开端树立微积分学的基础理论,——他基础上胜利了。直至今天,数学家采取的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨,而数学学科内部关于微积分学的专门称呼——“剖析学”——也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法:无限小剖析。尽管牛顿和莱布尼茨在微积分的发现权上争得不可开交,可是几个世纪过去,至少在这两件事情上莱布尼茨大获全胜。可是,也许你想不到的一件吊诡的事情是:尽管莱布尼茨在微积分学的树立进程里做出如此主要的贡献,他的思想的基石——无限小量——却是一个在今天的数学语言里被完整摈弃了的概念。人们发明这个词汇除了带来凌乱之外并没有什么特殊的用途,于是作为一种语言,它被丢弃了。事实上,即使在莱布尼茨的同时代人看来,无限小也是一个有点让人不舒畅的词:比任何大于零的数都小,却不是零。我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来应用,可是这样一个怪东西的存在,既使得数学的基础对象——实数的构造变得凌乱,也在很多场所带来了麻烦的难于答复的问题(尽管它也确切带来了不少便利)。在剖析学蓬勃发展的十八世纪,一代又一代数学巨匠为此争辩不休,大家凌乱而各行其是地应用这个词,却没人能说明白它的准确含义。终于,从十九世纪初期开端,以柯西(Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的一大量数学家开端为剖析学的周密化做出了大批的工作,他们试图在完整不采取“无限小量”这个概念的前提下重新树立全部剖析学,——他们也胜利了。于是这个词就被摈弃了。时至今日,这个词尽管在很多数学书里仍然会呈现,但是这时它仅仅作为一个纯洁修辞上的词汇而不是严厉的数学概念,——人们通常用它来指代“极限为零的变量”(感激十九世纪那一大量数学家,极限这个词已经是有了周密清楚的定义而不再仅仅是某种哲学性的描写),也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼,但是无论何时,人们在应用它的时候都明白的知道自己想说什么,更要害的是,人们知道自己并不须要它,而只是偶尔像借助一个比方一样借助它罢了。那么,回到这个词最本源的意义:到底有没有这样一个量,比一切给定的正实数都小却又不是零?或者这个问题还有一系列等价的提法:在直线上存不存在两个“相邻”的点?存不存在“长度”的最小构成单位?等等等等。在今天我们已经能够断定无疑的答复这些问题了:不,不存在。事实上,这个问题的彻底解答甚至比柯西和魏尔斯特拉斯的时期还要晚:它实质上是关于实数的构造的懂得的问题。即使柯西本人——尽管他奠定了现代极限理论的基本——也并不真正懂得“实数是什么”这样一个简略的问题。关于周密的实数理论的最终树立,一般以为是皮亚诺(peano),康托(Cantor)和戴德金(Dedekind)这几位十九世纪下半叶的数学家的成绩。所谓的“戴德金分划”仍然是今天的教科书里对“实数”这一概念所介绍的尺度模型。在这套模型里,人们能够在逻辑上完整自洽的前提下答复有关实数构造的一切问题,而正如前面指出过的那样,它完整抛弃了“无限小”的存在。(是不是数学家说无限小量不存在,这个词就没意义了呢?)这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的威望性的问题。如果承认无限小是一个有关数的概念,那么,数学家的工作已经告知我们,在实数理论中没有无限小的地位。事实上,康托本人就曾经证明过承认无限小是同承认实数中基础的阿基米德原理相抵触的。(阿基米德原理是一个关于实数性质的基础原理,如果阿基米德原理是错的,全部数学大概都无法得以树立。)但是,如果把问题拉到数学的疆域以外,如果以为人们有权力不依照数学家的方法讨论数本身的性质,那么我们面对的就已经是全然另一层次的问题,——也就不可能在这里得到详尽的讨论了。

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